AAR - Fibrés, fibrations et connexions
Publication originale : Fibrés, fibrations et connexions
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Fibrés, fibrations et connexions
- Résumé des conférences -

La notion de fibré : un concept récent qui éclaire la géométrie différentielle classique. Une introduction pédagogique et rétrohistorique par Lionel Bérard Bergery (Institut Elie Cartan - Université Henri Poincaré-Nancy 1)

Cet exposé introductif présentera les mots du titre de ces journées d’études : fibrés, fibrations, connexions, et essaiera de donner une idée des notions géométriques qui se cachent sous ces appellations. D’autres mots techniques, reliés à ces notions, apparaîtront d’eux-mêmes. Par exemple, la notion de groupe structural situera la place des groupes de transformations à l’intérieur de ces structures.

Cet exposé ne suivra pas l’ordre chronologique d’apparition de ces concepts : en effet, les connexions précèdent dans le temps les fibrés sur lesquels les géomètres actuels les font vivre. Il est bien difficile de dire maintenant laquelle de ces deux notions est la plus centrale, surtout depuis que les physiciens se sont emparés des connexions pour en faire les « champs » de leurs interactions.

Aussi, l’auteur a choisi de privilégier sa propre approche « pédagogique » : celle-ci s’appuie sur des points de vue ensemblistes qui sont aujourd’hui considérés comme « standards » voire « triviaux », mais qui ne l’étaient guère à l’époque de l’invention des fibrés et plus encore des connexions. C’est en ce sens qu’il faut comprendre l’adjectif « rétrohistorique » employé dans le titre.

La présentation orale de l’exposé s’appuiera sur des figures, bien sûr, puisqu’il s’agit de géométrie. Il ne faut pas perdre de vue cependant que l’utilisation de toutes ces notions nécessite en pratique des calculs détaillés et souvent délicats, qui seront quelque peu occultés dans cette introduction. Celle-ci ne se veut qu’une invite à pénétrer plus avant dans ces structures fascinantes, en suivant les exposés de ces journées d’études.



Reduction and extension of the group of connections: an underlying conceptual motif of H. Weyls analysis of the problem of space and his work on the general relativistic Dirac equation
par Erhard Scholz (Université de Wuppertal)


In his research program of "purely infinitesimal geometry", H. Weyl started generalizations of the "classical" Levi-Civita connection of Riemannian differential geometry in several respects. Abstract affine connections were only one of these. Another line was opened in his group theoretical analysis of purely infinitesimal geometry. There he started to consider relations which in later language can be described as an interplay of reduction of the group of an underlying fibre bundle (from the linear to the special orthogonal group) and an extension (from special orthogonal to similarities). This interplay was important for a conceptual analysis of his specific idea of a gauge extension of a geometry. Although in the early 1920s Weyl could neither prepare the fibred structure, nor the group theoretic characterization of connections, the conceptual scheme was rather clear in his mind. In the second part of the 1920s he accepted the proposal by physicists to transfer his original gauge geometric idea from the metrical aspect to the phase of complex wave functions. Like Fock, he used his old gauge idea in the new setting of placing Dirac spinors in a general relativistic framework. In his version of the Fock-Weyl theory, group reduction and extension and thus the group theoretical aspect of the gauge extension became alrady visible. It opened the path for later constructions of gauge extensions of an underlying geometrical connection and thus, at least in some basic principles, for the gauge field theories of the last third of the 20th century.



Cartan et les connexions
par Philippe Nabonnand (Archives Henri Poincaré - Université de Nancy 2)


A partir de 1922, Cartan développe une théorie originale des connexions. L'objectif de cette conférence est de donner quelques indications sur la genèse de cette théorie et en particulier de montrer l'importance de la notion d'holonomie dans le dispositif théorique de Cartan.



Fibrés et connexions chez Ehresmann, liens avec les travaux de Cartan
par Sorin Dumitrescu (Université Paris XI)


Dans ses travaux de géométrie différentielle et à la suite des célèbres mémoires de Cartan, Ehresmann dégage plusieurs notions fondamentales : espaces fibrés différentiables, fibrés principaux, connexions infinitésimales, développement, complétude, holonomie. Je parlerai de ces concepts, des liens avec les espaces à connexion de Cartan et de quelques applications.



Les non-linéarités de la géométrie des espaces fibrés : une rencontre étonnante entre physique et mathématiques
par Jean-Pierre Bourguignon (IHES)


Lorsque Theodor Kaluza proposa en 1918 un modèle d'unification des interactions gravitationnelles et électromagnétiques en ajoutant une dimension à l'espace-temps, il levait le voile sur un nouveau continent, la géométrie métrique des espaces fibrés, dont les physiciens théoriciens et les mathématiciens se sont partagés la conquête.

En effet lorsque l'espace total d'un fibré est muni d'une métrique "adaptée" à la fibration, alors la courbure de l'espace total, de la base et des fibres s'interpénètrent de façon remarquablement non-linéaire, avec la possibilité d'une lecture "physique" de la plupart des formules. Au-delà du modèle de Kaluza-Klein, ce sont les théories de jauge non-abéliennes classiques qui se nourrissent de cette interaction non-linéaire, mais elles sont aussi contraintes par elle.



Espaces fibrés et interactions fondamentales
par Robert Coquereaux (Université d'Aix-Marseille)


L'exposé commencera par une présentation élémentaire de certaines notions géométriques (espaces fibrés principaux et associés, connexions, courbure, espace des connexions etc.). Nous montrerons ensuite comment ces notions sont utilisées en physique théorique dans la description des interactions élémentaires : électromagnétisme, interactions faibles, interactions fortes et gravitation. Nous indiquerons enfin comment les concepts géométriques sous-jacents peuvent être généralisés dans le cadre de la géométrie non commutative et aborderons le problème général de la quantification en théorie des champs.



L'idée d'espace classifiant : un essai d'approche épistémologique
par Philippe Lombard (Archives Poincaré - Université Henri Poincaré-Nancy 1)


Les années 50 ont été marquées par une évolution spectaculaire de la géométrie - aussi bien en topologie qu'en géométrie différentielle ou en géométrie algébrique - et ceci notamment au travers de l'étude systématique des espaces fibrés. Le but de l'exposé est d'illustrer, autour de la notion d'espace classifiant et de classes caractéristiques, la puissance et la complémentarité des méthodes géométriques, algébriques et fonctorielles qui ont permis, par exemple, de mettre en évidence la complexité insoupçonnée jusque-là des liens entre les notions de structures topologiques et de structures différentiables."



Simplifier par les structures - l'histoire des espaces fibrés selon Seifert et les interactions de la géométrie, de la théorie des groupes et de la topologie.
par Klaus Volkert (Archives Poincaré - Universität Köln)


Nous retracerons l'histoire de l'idée d'étudier des objets géométriques compliqués en leurs donnant une structure plus fine, en partant du produit introduit dans le contexte topologique par Steinitz en 1908 - et déjà présente de manière implicite dans les exemples construits par Poincaré dans son fameux mémoire sur l'analysis situs (1895). Le produit est une construction ensembliste et elle est à l'origine de l'idée moderne des fibrations.

Une autre manière de simplifier des objets est de considérer l’opération d’un groupe sur un espace – dans ce cas, on peut étudier les chemins (les « orbites ») parcourus par les points de l’objet sous l’action du groupe. Cette idée était motivée par des recherches classiques comme celles des sous-groupes finis des groupes classiques – en particulier la détermination des groupes de rotations et des corps réguliers dans l’espace à trois ou à quatre dimensions. Au début des années 1930, elle fut utilisée par W. Threlfall et H. Seifert pour structurer des variétés tridimensionelles : c’était le début des fibrations selon Seifert. En différence avec la conception moderne des fibrations, la théorie de Threlfall-Seifert est une théorie géométrique qui nécessitait des connaissances importantes de géométrie sphérique à trois dimensions. D’un point de vue historique il est intéressant d’étudier le développement de cette théorie qui a perdu dans son état actuel ses racines géométriques.



Fibrés, topologie et classes caractéristiques dans l'esprit des connexions et de l'homologie cyclique
par Max Karoubi (Université Paris 7-Denis Diderot)


La notion de fibré s'est dégagée lentement sous l'impulsion d'Ehresmann, Steenrod et d'autres. Dans cet exposé, nous donnons la définition la plus simple en termes de fonctions de recollement. Dans le même esprit, dans le cadre différentiable, nous donnons la définition d'une connexion et montrons comment on peut lui attacher des classes de cohomologie non triviales (théorie de Chern-Weil).

Dans la deuxième partie de l'exposé, nous "algébrisons" ces définitions et montrons le lien avec l'homologie cyclique et l'homologie de de Rham non commutative, ce qui permet d'aller plus loin que la théorie de Chern-Weil classique.



La topologie des fibrés et la K-théorie.
par François Chargois (Institut Elie Cartan - Université Nancy 1-Henri Poincaré)


La K-théorie est une branche (relativement) récente des Mathématiques. Apparue en 1957 au sein de la géométrie algébrique, enfantée et portée sur les fonds baptismaux par Grothendieck à l'occasion de son grand travail sur le théorème de Riemann-Roch, elle a ensuite été adoptée par la topologie, sous le haut parrainage d'Atiyah et Hirzebruch. Il n'est pas exagéré de dire que depuis lors, la K-théorie a investi la mathématique dans sa quasi-totalité ; plus récemment elle s'est également imposée dans la physique la plus "moderne", théorie des D-branes notamment.

L'exposé tentera d'évoquer les origines du sujet, autour de la notion de fibré vectoriel et des théorèmes de Grothendieck-Riemann-Roch et d'Atiyah-Singer.



Connexions principales et théories quantiques
par Daniel Bennequin (Université Paris 7-Denis Diderot)


La confrontation des théories des champs avec les principes quantiques a demandé de réviser la conception des interactions entre particules. En particulier la notion de charge a complètement changé de nature et a impliqué les concepts de fibrés vectoriels, fibrés principaux, connexions. Cette notion de charge est encore enrichie part les réflexions actuelles sur les dualités et les monopoles.



Submersions et fibrations
par Etienne Ghys (CNRS - ENS Lyon)


Un feuilletage est défini par des submersions locales. Parfois, une version du prolongement analytique permet de montrer que le relevé au revêtement universel est défini par une submersion globale. Cette submersion est-elle une fibration localement triviale ? Cela dépend ... Dans cet exposé, à travers quelques exemples et contre-exemples, je voudrais discuter ces situations très favorables dans lesquelles le revêtement universel est défini par une fibration globale. J'essaierai de présenter cela d'un point de vue « historique » mais je ne manquerai pas de formuler une ou deux conjectures actuelles ...









Dernière mise à jour le 29/06/2016
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